Problem Monty’ego Halla
Wyobraź sobie, że bierzesz udział w teleturnieju. Właśnie udało ci się dotrzeć do finałowego etapu. Prowadzący odsłania trzy skrzynie, tłumacząc, że w jednej z nich znajduje się nagroda, natomiast dwie pozostałe są kompletnie puste.
Za zadanie dostajesz wybranie jednej z nich. Nikt poza prowadzącym nie wie, która skrzynka jest właściwa. Dodatkowo nie jest dozwolone wchodzenie z nimi w żadną interakcję. Decyzję musisz podjąć czysto losowo.
Po chwili rozważań decydujesz się wybrać jedną ze skrzyń (przykładowo skrzynia nr 1).
Prowadzący podchodzi do skrzyń, otwiera jedną z nich i pokazuje, że jest ona pusta. (prowadzący zawsze otwiera pustą skrzynię, inną niż ta, którą wybrałeś).
Chwile później prowadzący zwraca się do ciebie z pytaniem, „czy chcesz może zmienić wybór i zdecydować się, otworzyć skrzynkę nr 2?”
Jak myślisz? Powinieneś przystać na tę propozycję, czy lepszym rozwiązaniem będzie jej odrzucenie, a może uważasz, że nie ma znaczenia, co wybierzesz? Poniżej będzie rozwiązanie, to jest właśnie ten moment kiedy musisz podjąć decyzję.
I jak udało ci się podjąć decyzję? Większość ludzi analizująca ten problem dochodzi do wniosku, że, decyzja o zostawieniu skrzynki lub jej zmianie nie wpłynie w żaden sposób na szanse wygrania nagrody.
Natomiast w rzeczywistości, większe szanse na wygraną mamy wtedy kiedy zdecydujemy się przystać na propozycję prowadzącego i dokonać zmiany wyboru.
Na pierwszy rzut oka szansa, że nagroda znajduje się w skrzyni numer jeden, wynosi 50%, podobnie jak szansa na to, że jest ona w skrzyni numer dwa. Przeanalizujmy jednak sytuację dokładniej:
Mamy tutaj wykres wszystkich możliwości ułożenia nagrody. Nagroda znajduje się zawsze w jednej skrzynce, dlatego istnieją trzy opcję dotyczące jej lokalizacji.
W momencie kiedy po raz pierwszy decydujemy się na wybór skrzyni. Mamy dokładnie 33,(3) proc. szansy na wygranie nagrody. W kolejnym etapie prowadzący odsłania jedną z pustych skrzyń i pyta nas o ponowną decyzję.
(W celu uproszczenia załóżmy, że za każdym razem w pierwszym etapie zdecydowaliśmy się na otworzenie skrzynki nr 1.)
W drugim etapie stoimy przed wyborem, dotyczącym zmiany skrzynki. Jak możemy łatwo zauważyć, decyzja o zmianie sprawia, że wygramy w dwóch z trzech przypadków.
Natomiast decydując się na pozostawienie skrzynki nr 1, wygramy w zaledwie jednym z trzech przypadków.
Żeby lepiej zrozumieć mechanikę działania, potraktujmy oba etapy jako całość. Wyobraź sobie, że do teleturnieju przyszedłeś z myślą. „W pierwszym etapie wybiorę jedną ze skrzynek, a w drugim zdecyduje się na zmianę”.
Zauważ, że taka strategia umożliwi wygraną, zawsze wtedy kiedy w pierwszym etapie wybierzesz niewłaściwą skrzynkę. (jeżeli wybierzesz niewłaściwą skrzynkę, to w drugim etapie prowadzący odsłoni drugą niewłaściwą skrzynkę, dzięki temu po zmianie wyboru dostaniesz skrzynkę z nagrodą).
Jako że w pierwszym etapie masz do wyboru trzy skrzynki, z czego dwie są puste. Decydując się na zmianę, masz dokładnie 66,(6) proc. szans na wygraną. Przegrasz tylko w przypadku trafienia w pierwszym etapie na właściwą skrzynkę (na co jest 33,(3) proc.).